小数の $n$ 進数表示
10進数→ $n$ 進数に変換することを考えましょう。
整数であれば変換ができる人でも、小数になると混乱してしまうことが多いようです。
$0.625$ を2進数で表せ。
10進数の $0.625$ とは、分数を利用して表すと
$6\cdot\dfrac{1}{10}+2\cdot\dfrac{1}{100}+5\cdot\dfrac{1}{1000}$
同様に、2進数の小数で表すということは、
$?\cdot\dfrac{1}{2}+?\cdot\dfrac{1}{2^{2}}+?\cdot\dfrac{1}{2^{3}}…$
(ここでの「?」は、2進数なので0か1です。)
$0.625=1\cdot\dfrac{1}{2}+0.125$
$0.625=1\cdot\dfrac{1}{2}+0\cdot\dfrac{1}{2^{2}}+0.125$
さらに、$0.125$ の中に $\dfrac{1}{2^{3}}$ は何個入りますか?
$0.625=1\cdot\dfrac{1}{\text{2}}+0\cdot\dfrac{1}{2^{2}}+1\cdot\dfrac{1}{2^{3}}$
$0.625=0.101_{(2)}$
$n$ 進数変換アルゴリズム
まず、$0.625$ に2をかけます。
$0.625×2=1.25$
$0.625$ の中に $\dfrac{1}{2}$ は1個入る
ことです。
「2倍したものに1が何個入るか」と、「$0.5$ が何個入るか」は同じですね…
$0.25$ に2をかけると…
$0.25×2=0.5$
$\dfrac{1}{2}$ は1個、$\dfrac{1}{2^{2}}$ は0個、$\dfrac{1}{2^{3}}$ が $1$ 個で…
$0.625=0.101_{(2)}$
練習
$0.776$ を5進数で表せ。
$0.776×5=3.88$
整数部分は $3$
小数部分は $0.88$
さらに小数部分に5をかけて…
$0.88×5=4.4$
整数部分は$ 4$
小数部分は $0.4$
$0.4×5=2$
整数部分は $2$
つまり、こうです!
$0.776=0.342_{(5)}$
$n$ 進数の循環小数の変換
7進数で表された循環小数 $0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}$ を5進数の小数で表せ。
手順1 循環小数の分数化
$0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}=3\cdot\dfrac{1}{7}+5\cdot\dfrac{1}{7^{2}}+3\cdot\dfrac{1}{7^{3}}+5\cdot\dfrac{1}{7^{4}}+…$
循環小数の分数化は10進数と同じように考えることができます。
分からなくなったら、リンク先の記事とよく見比べてみてください。
方法1 $100_{(7)}$倍する
$x=3\cdot\dfrac{1}{7}+5\cdot\dfrac{1}{7^{2}}+3\cdot\dfrac{1}{7^{3}}+5\cdot\dfrac{1}{7^{4}}+…$ ……①
とおくと、両辺に $49$ をかけて、
$49x=3\cdot7+5+3\cdot\dfrac{1}{7}+5\cdot\dfrac{1}{7^{2}}+…$ ……②
②ー①より
$48x=21+5$
よって
$x=\dfrac{26}{48}=\dfrac{13}{24}$
方法2 無限等比級数の公式を使う
$0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}=3\cdot\dfrac{1}{7}+5\cdot\dfrac{1}{7^{2}}+3\cdot\dfrac{1}{7^{3}}+5\cdot\dfrac{1}{7^{4}}+…$
これは初項 $3\cdot\dfrac{1}{7}+5\cdot\dfrac{1}{7^{2}}$、公比が $\dfrac{1}{49}$ の無限等比級数。
$0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}=\dfrac{3\cdot\frac{1}{7}+5\cdot\frac{1}{7^{2}}}{1-\frac{1}{49}}$
$=\dfrac{3\cdot7+5}{49-1}$
$=\dfrac{26}{48}$
$=\dfrac{13}{24}$
方法3 $\frac{1}{66_{(7)}}$を考える
であるのと同様に、
7進数では $\dfrac{1}{66_{(7)}}=0.010101…$ です。
$0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}=\dfrac{35_{(7)}}{66_{(7)}}=\dfrac{26}{48}=\dfrac{13}{24}$
この方法は少し慣れが必要かもしれないですね。
手順2 分数の5進数への変換
$\dfrac{13}{24}×5=\dfrac{65}{24}=2+\dfrac{17}{24}$
整数部分は2
小数部分は$\dfrac{17}{24}$
$\dfrac{17}{24}×5=\dfrac{85}{24}=3+\dfrac{13}{24}$
整数部分は3
小数部分は $\dfrac{13}{24}$
ですからこれ以降、整数部分は2、3を繰り返すことになります。
よって、5進数で表すと次のようになると分かりました。
$0.\dot{3}\dot{5}_{(7)}=0.\dot{2}\dot{3}_{(5)}$ (解答終わり)