条件付き確率の演習
条件付き確率
分からなくなったら、条件付き確率の基本に戻って考えてください。
問題
はじめに赤玉と白玉が2個ずつ入った袋に、次の試行を繰り返す。
(i) まず同時に2個の玉をとり出す。
(ii) 取り出した2個の玉が同色なら取り出した2個を袋に戻し、色違いなら赤玉2個を袋に入れる。
(iii) 最後に白玉1個を袋に追加してかき混ぜる
これで1回の試行を終わる。
$n$ 回の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を $X_{n}$ とする。
$X_{2}=3$ であったとき、$X_{1}=3$ である条件付き確率を求めよ。
（北海道大・誘導省略）
条件付き確率の定義の確認
条件付き確率の定義です。
分母は「$X_{2}=3$」、分子は「$X_{2}=3$ かつ $X_{1}=3$」ですね。
$$\dfrac{P(X_{2}=3 \cap X_{1}=3)}{P(X_{2}=3)}$$
ルールの確認
(iii)で白玉が増えるだけです！
個々の確率の計算
$X_{1}=3$ となる確率
「1回の試行が終わって袋の中に赤玉が3個ある」ですから、赤玉が1個増えたということです。
どんな玉を取り出したはずですか？
$\dfrac{2\cdot2}{_{4}{\rm C}_{2}}=\dfrac{2}{3}$
$X_{2}=3$ となる確率
赤玉が増えたのはいつであるかで…
1回目で赤玉が増える場合
「1回目は色違い、2回目に同色」だから…
1回目に赤白をとるから、確率はさっき求めた
$\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{_{3}{\rm C}_{2}}{_{5}{\rm C}_{2}}+\dfrac{_{2}{\rm C}_{2}}{_{5}{\rm C}_{2}}=\dfrac{3+1}{10}=\dfrac{2}{5}$
$\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{15}$
では次に、「2回目で赤玉が増える」場合の確率を求めましょう。
2回目で赤玉が増える
「1回目は同色、2回目に色違い」…
今度は一気に式を立てちゃいますね！
$\left(\dfrac{_{2}{\rm C}_{2}}{_{4}{\rm C}_{2}}+\dfrac{_{2}{\rm C}_{2}}{_{4}{\rm C}_{2}}\right)\cdot\dfrac{2\cdot3}{_{5}{\rm C}_{2}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{1}{5}$
条件付き確率の立式
$$\dfrac{P(X_{2}=3 \cap X_{1}=3)}{P(X_{2}=3)}$$
「1回目で赤玉が増える」と「2回目で赤玉が増える」の和で…
$\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{5}$
「1回目で赤玉が増える」の方の…
$\dfrac{4}{15}$
$\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{5}}=\dfrac{4}{4+3}=\dfrac{4}{7}$
答案
色違いを取り出したときは赤玉だけが1つ増え、
同色を取り出したときは白玉だけが1つ増えるから、
$X_{2}=3$ となるのは
（A）「1回目は色違い、2回目に同色」
または
（B）「1回目は同色、2回目に色違い」
のときである。
(A) の確率は
$\dfrac{2\cdot2}{_{4}{\rm C}_{2}}\left(\dfrac{_{3}{\rm C}_{2}}{_{5}{\rm C}_{2}}+\dfrac{_{2}{\rm C}_{2}}{_{5}{\rm C}_{2}}\right)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{15}$
(B) の確率は
$\left(\dfrac{_{2}{\rm C}_{2}}{_{4}{\rm C}_{2}}+\dfrac{_{2}{\rm C}_{2}}{_{4}{\rm C}_{2}}\right)\cdot\dfrac{2\cdot3}{_{5}{\rm C}_{2}}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{6}{10}=\dfrac{1}{5}$
$X_{2}=3$ かつ $X_{1}=3$ であるのは、上の(A)のときである。
よって求める確率は
$\dfrac{P(X_{2}=3 かつ X_{1}=3)}{P(X_{2}=3)}$
$=\dfrac{\dfrac{4}{15}}{\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{5}}=\dfrac{4}{4+3}=\dfrac{4}{7}$
