積和公式の利用
教科書基本レベル
次の不定積分を求めよ。
$$\int\sin3x\cos2xdx$$
積分の得意分野と不得意分野はなんだったか覚えていますか？
覚えていますよ！積が苦手、和が得意、です。
三角関数の積になっているものの積分は、積を和に変換する公式、積和公式を使います。
積和公式…
覚えにくい公式なので、その都度つくるのが普通ですね。加法定理を足し引きして作ります。今回は\(\sin\)と\(\cos\)の積ですね。サインとコサイン、「咲いたコスモス」なので…
\(\sin(\alpha+\beta)\)の加法定理を使うんですね！
積和公式の導出
\(\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)
\(\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)
の辺々を足して2で割ると、
\(\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} \)
となります。
解答
これで準備は完了です。
\(\alpha=3x\)、\(\beta=3x\)とすれば
$$\sin3x\cos2x=\frac{1}{2}\left(\sin5x+\sin x\right)$$
となるので、
\begin{align*}& \int\sin3x\cos2xdx\\= & \int\frac{1}{2}\left(\sin5x+\sin x\right)dx\\= & -\dfrac{1}{10}\cos5x-\frac{1}{2}\cos x+C\end{align*}
です。
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