三角関数の各公式を次々と作っていきましょう。
覚えてしまった方がいい公式もありますし、その都度つくった方がいいものもあります。
導くのは簡単な公式ばかりなので、覚える覚えないはさておき「作ろうと思えば作れる」状態にしておきましょう。
三角関数の加法定理
加法定理は単位円と余弦定理から導く方法が教科書に載っていると思いますが、ここでは証明は置いておいて、いったん下の4式を認めてしまいましょう。
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
2倍角の公式
導出
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ から、
$\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta$
つまり $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
同様に $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ から
$\cos2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
ここで $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ をつかって、
$\cos2\theta=\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)$
$\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$
または $\cos2\theta=(1-\sin^{2}\theta)-\sin^{2}\theta$ から
$\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$
$\begin{align*}\sin2\theta & =2\sin\theta\cos\theta\\\cos2\theta & =\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\\& =2\cos^{2}\theta-1\\& =1-2\sin^{2}\theta\end{align*}$
2倍角の公式は使用頻度が高いので使っているうちに覚えるでしょう。
半角公式
導出
$\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ を変形して
$\cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$
$\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$ を変形して
$\sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$
$\cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$
$\sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$
半角公式の別表記
$\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置き換えて
$\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$
$\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$
と書くこともあります。
3倍角の公式
導出
$\begin{align*}\sin(\theta+2\theta) & =\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin2\theta\\& =\sin\theta(1-2\sin^{2}\theta)+\cos\theta・2\sin\theta\cos\theta\\& =\sin\theta-2\sin^{3}\theta+2\sin\theta\cos^{2}\theta\\& =\sin\theta-2\sin^{3}\theta+2\sin\theta(1-\sin^{2}\theta)\\& =3\sin\theta-4\sin^{3}\theta\end{align*}$
$\begin{align*}\cos(\theta+2\theta) & =\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta\\& =\cos\theta(2\cos^{2}\theta-1)-\sin\theta・2\sin\theta\cos\theta\\& =2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2\sin^{2}\theta\cos\theta\\& =2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2(1-\cos^{2}\theta)\cos\theta\\& =4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\end{align*}$
$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^{3}\theta$
$\cos3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$
積和公式
導出
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ ……①
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ ……②
として、①+②より
$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$
つまり
$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\} $
さらに
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ ……③
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ ……④
として、③+④より
$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$
つまり
$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\}$
③ー④より
$\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta$
つまり
$\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}$
が導かれます。
$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\}$
$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\}$
$\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}$
この公式は暗記に向かないので、必要に応じて作るのが普通です。
どんな場面で利用するのかは別の機会にお話ししましょう。
和積公式
積和公式で角を他の文字に置き換えすれば和積公式になります。
導出
①+②とした式
$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$
において、
$\alpha+\beta=A$ ……⑤
$\alpha-\beta=B$ ……⑥
とおくと、
$\alpha=\dfrac{A+B}{2}$
$\beta=\dfrac{A-B}{2}$
となります。
文字を置き換えて
$\sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
となります。他の式からも同様につくれば、下のようになります。
$\sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
$\sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$
$\cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
$\cos A-\cos B=-2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$
この公式も使いべき場面があるのですが、使い方についてはまたの機会にお話しします。