積和公式を利用する問題を解いてみましょう。
問題
$\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{x}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{ \cos(kx)\sin\dfrac{x}{2}\right\} =\dfrac{1}{2}\sin\left(\boxed{ }\right)x$
積和公式による変形
まずはシグマの中身を簡単にしましょう。
積和公式で変換すると、
$\cos(kx)\sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\left(k+\dfrac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$
となります。
$\sum$ の解消（和の中抜け）
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\left(k+\dfrac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$
を順番に書き下していくと、
$\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\dfrac{3}{2}x-\sin\dfrac{1}{2}x\right\}$
$+\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\dfrac{5}{2}x-\sin\dfrac{3}{2}x\right\}$
$+\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\dfrac{7}{2}x-\sin\dfrac{5}{2}x\right\} …$
$……$
$+\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x-\sin\left(n-\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$
となります。
つまり
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\left(k+\dfrac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$
$=\dfrac{1}{2}\left\{ -\sin\dfrac{1}{2}x-\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$
となります。
結論
$\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{x}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{ \cos(kx)\sin\dfrac{x}{2}\right\}$
$=\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\left\{ -\sin\dfrac{1}{2}x-\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$
$=\dfrac{1}{2}\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x$
