教科書基本レベル
次の不定積分を求めよ。
$$\int\frac{1}{\sin^{2}x}dx$$
これは公式として覚えておいてほしい積分です。
まず、\(\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx\)だったら公式として覚えていますか？
えっと、\(\tan x+C\)ですね。
そう。\(\tan x\)の微分が\(\frac{1}{\cos^{2}x}\)だからね。では、\(\tan x\)の微分の公式はどうやって作ったか覚えていますか？
うっ…どうでしたっけ。。。
\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)だから…
あっ。商の微分を使えばいいですね。
\(\tan x\)の微分
\begin{align*}(\tan x)’ & =\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’\\& =\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}\\& =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\\& =\frac{1}{\cos^{2}x}\end{align*}
\(\tan x\)の逆数の微分
では同じようなことを\(\tan x\)の逆数でもやってみましょう。
\begin{align*}\left(\frac{1}{\tan x}\right)’ & =\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)’\\& =\frac{\left(-\sin x\right)\cdot\sin x-\cos x\cdot\cos x}{\sin^{2}x}\\& =\frac{-\sin^{2}x-\cos^{2}x}{\sin^{2}x}\\& =-\frac{1}{\sin^{2}x}\end{align*}
解答
上での議論は、
$$\int\frac{1}{\sin^{2}x}dx =-\frac{1}{\tan x}+C$$
を意味します。
