チェビシェフ多項式

次の定理を紹介しましょう。

これを知っていることで、式変形の見通しが良くなります。

$n$ 倍角の公式についての定理

三角関数の $n$ 倍角の公式には、法則があります。

まずは順に確かめてみましょう。

• $n=1$ のとき

$\sin x=1・\sin x$

となって、確かに ($\cos\theta$の0次式)×$\sin\theta$

• $n=2$ のとき

$\sin2x=2\sin x\cos x$

となって、確かに $(\cos\theta$の1次式)×$\sin\theta$

• $n=3$ のとき

$$\begin{align*}\sin3x & =3\sin x-4\sin^{3}\theta\\& =3\sin x-4\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\\& =(4\cos^{2}\theta-1)\sin x\end{align*}$$

となって、確かに ($\cos\theta$の2次式)×$\sin\theta$

確かに成り立っていますね。

しかし当然、永遠に試し続けるわけにはいかないですから…

帰納法ですね。

その通り。

帰納法による証明

証明を思い付けというのはなかなか難しいです。

作るべき式を提示しますね。

$\sin(n\theta+\theta)=\sin n\theta\cos\theta+\cos n\theta\sin\theta$　……①

$\sin(n\theta-\theta)=\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta$　……②

①＋②より

$\sin(n\theta+\theta)+\sin(n\theta-\theta)=2\sin n\theta\cos\theta$

よって

$\sin(n+1)\theta=2\sin n\theta\cos\theta-\sin(n-1)\theta$

和積公式を作るのに似ていますね。

ここで例えば $n=3$ を代入すると

$\sin4\theta=2\sin3\theta\cos\theta-\sin2\theta$

となるわけですが…

あ、もう証明は終わりましたね！

（早いな…）ええ。先ほどの結果から

$\sin4\theta=(\cos\theta$の2次式)×$\sin\theta\cos\theta-(\cos\theta$の1次式)$\sin\theta$

$=(\cos\theta$の3次式)×$\sin\theta-(\cos\theta$の1次式)×$\sin\theta$

$=(\cos\theta$の3次式)$\sin\theta$

となって、

$\sin4\theta=(\cos\theta$の3次式)×$\sin\theta$

が示せたわけです。以降、このように帰納的に考えればすべての自然数について証明できたことになります。

きちんと帰納法として書くと

一応、もう少し帰納法ぽく書いておきます。

$n=k-1,k$ において

$\sin n\theta=(\cos\theta$の$(n-1)$次式$)\sin\theta$

が成立すると仮定する。

$\sin(k+1)\theta=2\sin k\theta\cos\theta-\sin(k-1)\theta$ から、

$\sin(k+1)\theta=2(\cos\theta$の$(k-1)$次式)×$\sin\theta\cos\theta-(\cos\theta$の$(k-2)$次式)×$\sin\theta$

$=2(\cos\theta$の$(k-1)$次式)×$\sin\theta$

となって、$n=k+1$ でも成立。

「1つ前だけを仮定する」タイプではなく、「2つ前までを仮定する」タイプの帰納法ですね。

チェビシェフ多項式

さて、ここで登場する

$\cos\theta$の$(n-1)$次式

のことを、第2種チェビシェフ多項式と言います。

第2種…！

第1種はあとで練習として残しておきます。とりあえず第2種チェビシェフ多項式についてもう少し話をしますね。

$\sin(n+1)\theta=2\sin n\theta\cos\theta-\sin(n-1)\theta$

これを3項間漸化式と見てみましょう。

$\cos\theta=t$ とおいて、$n$次の第2種チェビシェフ多項式を $U_{n-1}(t)$ とおきます。すると

$\sin n\theta=U_{n-1}(t)\sin\theta$

から、漸化式は

$U_{n}(t)\sin\theta=2U_{n-1}(t)\sin\theta ・t-U_{n-2}(t)\sin\theta$

$U_{n}(t)=2tU_{n-1}(t)-U_{n-2}(t)$

となります。

$\sin x=1\sin x$ より

$U_{0}(t)=1$

$\sin2x=2\sin x\cos x$ より

$U_{1}(t)=2t$

ですから、

$U_{2}(t)=2tU_{1}(t)-U_{0}(t)$

$\,　　=2t・2t-1$

$\,　　=4t^{2}-1$

これは、$\sin3\theta=(4\cos^{2}\theta-1)\sin\theta$ であることを意味します。

では、この漸化式を利用して、$\sin6\theta$ の公式を作ってもらえますか？

漸化式を順に上っていけば…

$U_{3}(t)=2t(4t^{2}-1)-2t$

$\,　　=8t^{3}-4t$

$U_{4}(t)=2t(8t^{3}-4t)-(4t^{2}-1)$

$\,　　=16t^{4}-12t^{2}+1$

$U_{5}(t)=2t(16t^{4}-12t^{2}+1)-(8t^{3}-4t)$

$\,　　=32t^{5}-32t^{3}+6t$

つまり…

$\sin6\theta$$=(32\cos^{5}\theta-32\cos^{3}\theta-6\cos\theta)\sin\theta$

となりますね！

ちなみに普通に2倍角と3倍角の公式で作っても、

$\sin6\theta=\sin(3\theta+3\theta)$

$\,　　=2\sin3\theta\cos3\theta$

$\,　　=2(3\sin\theta-4\sin^{3}\theta)(4\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$

$\,　　=2\sin\theta(4\cos^{2}\theta-1)(4\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$

$\,　　=2\sin\theta(16\cos^{5}\theta-16\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$

となって、同じ結論が得られます。

第1種チェビシェフ多項式

$\cos$ でも同様の定理があります。

この$(\cos\theta$の$n次式)$ を第1種チェビシェフ多項式といいます。

こっちの方がシンプル…

第1種チェビシェフ多項式はどのような漸化式になるかは練習として残しておきましょう。

$\cos$ の加法定理から漸化式を作るんですね。

解答は言わないですが、大丈夫ですか？

漸化式で作られる倍角の公式と、加法定理で作る倍角の公式が一致したらいいですよね。（まあググればでるし）

その通り。

やってみます！

ABOUT ME

e-yobi

北海道大学工学研究科　修士課程修了。 専門は複雑系における物理現象。 大学卒業後は商社でネットワークエンジニアとして働いていました。 4年で退職し、教員免許を取得。 公立高校・私立高校の教員を経て、現在は関西で予備校講師をしています。

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