次の定理を紹介しましょう。
これを知っていることで、式変形の見通しが良くなります。
$n$ 倍角の公式についての定理
三角関数の $n$ 倍角の公式には、法則があります。
$\sin n\theta$ は、
($\cos\theta$の$(n-1)$次式)×$\sin\theta$
の形で書ける。
- $n=1$ のとき
$\sin x=1・\sin x$
となって、確かに ($\cos\theta$の0次式)×$\sin\theta$
- $n=2$ のとき
$\sin2x=2\sin x\cos x$
となって、確かに $(\cos\theta$の1次式)×$\sin\theta$
- $n=3$ のとき
\begin{align*}\sin3x & =3\sin x-4\sin^{3}\theta\\& =3\sin x-4\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\\& =(4\cos^{2}\theta-1)\sin x\end{align*}
となって、確かに ($\cos\theta$の2次式)×$\sin\theta$
帰納法による証明
証明を思い付けというのはなかなか難しいです。
作るべき式を提示しますね。
$\sin(n\theta+\theta)=\sin n\theta\cos\theta+\cos n\theta\sin\theta$ ……①
$\sin(n\theta-\theta)=\sin n\theta\cos\theta-\cos n\theta\sin\theta$ ……②
①＋②より
$\sin(n\theta+\theta)+\sin(n\theta-\theta)=2\sin n\theta\cos\theta$
よって
$\sin(n+1)\theta=2\sin n\theta\cos\theta-\sin(n-1)\theta$
ここで例えば $n=3$ を代入すると
$\sin4\theta=2\sin3\theta\cos\theta-\sin2\theta$
となるわけですが…
（早いな…）ええ。先ほどの結果から
$\sin4\theta=(\cos\theta$の2次式)×$\sin\theta\cos\theta-(\cos\theta$の1次式)$\sin\theta$
$=(\cos\theta$の3次式)×$\sin\theta-(\cos\theta$の1次式)×$\sin\theta$
$=(\cos\theta$の3次式)$\sin\theta$
となって、
$\sin4\theta=(\cos\theta$の3次式)×$\sin\theta$
が示せたわけです。以降、このように帰納的に考えればすべての自然数について証明できたことになります。
きちんと帰納法として書くと
$n=k-1,k$ において
$\sin n\theta=(\cos\theta$の$(n-1)$次式$)\sin\theta$
が成立すると仮定する。
$\sin(k+1)\theta=2\sin k\theta\cos\theta-\sin(k-1)\theta$ から、
$\sin(k+1)\theta=2(\cos\theta$の$(k-1)$次式)×$\sin\theta\cos\theta-(\cos\theta$の$(k-2)$次式)×$\sin\theta$
$=2(\cos\theta$の$(k-1)$次式)×$\sin\theta$
となって、$n=k+1$ でも成立。
チェビシェフ多項式
さて、ここで登場する
$\cos\theta$の$(n-1)$次式
のことを、第2種チェビシェフ多項式と言います。
第2種…！
$\sin(n+1)\theta=2\sin n\theta\cos\theta-\sin(n-1)\theta$
これを3項間漸化式と見てみましょう。
$\cos\theta=t$ とおいて、$n$次の第2種チェビシェフ多項式を $U_{n-1}(t)$ とおきます。すると
$\sin n\theta=U_{n-1}(t)\sin\theta$
から、漸化式は
$U_{n}(t)\sin\theta=2U_{n-1}(t)\sin\theta ・t-U_{n-2}(t)\sin\theta$
$U_{n}(t)=2tU_{n-1}(t)-U_{n-2}(t)$
となります。
$\sin x=1\sin x$ より
$U_{0}(t)=1$
$\sin2x=2\sin x\cos x$ より
$U_{1}(t)=2t$
ですから、
$U_{2}(t)=2tU_{1}(t)-U_{0}(t)$
$\, =2t・2t-1$
$\, =4t^{2}-1$
これは、$\sin3\theta=(4\cos^{2}\theta-1)\sin\theta$ であることを意味します。
$U_{3}(t)=2t(4t^{2}-1)-2t$
$\, =8t^{3}-4t$
$U_{4}(t)=2t(8t^{3}-4t)-(4t^{2}-1)$
$\, =16t^{4}-12t^{2}+1$
$U_{5}(t)=2t(16t^{4}-12t^{2}+1)-(8t^{3}-4t)$
$\, =32t^{5}-32t^{3}+6t$
つまり…
$\sin6\theta$$=(32\cos^{5}\theta-32\cos^{3}\theta-6\cos\theta)\sin\theta$
$\sin6\theta=\sin(3\theta+3\theta)$
$\, =2\sin3\theta\cos3\theta$
$\, =2(3\sin\theta-4\sin^{3}\theta)(4\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$
$\, =2\sin\theta(4\cos^{2}\theta-1)(4\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$
$\, =2\sin\theta(16\cos^{5}\theta-16\cos^{3}\theta-3\cos\theta)$
第1種チェビシェフ多項式
$\cos n\theta$は、
($\cos\theta$の$n$次式)
の形で書ける。
この$(\cos\theta$の$n次式)$ を第1種チェビシェフ多項式といいます。
