今回は、生徒のゆうじ君が面白い質問を持ち込んでくれました。
問題
$\dfrac{a}{x-2}+\dfrac{b}{x+2}=\dfrac{4}{x^{2}-4}$
が $x$ についての恒等式になるように、定数 $a$ と $b$ の値を定めよ。
はじめはこれでいいかなと思ったんですが…
解答？
両辺に $x^{2}-4$ をかけて
$a(x+2)+b(x-2)=4$
$x=2$ を代入して $a=1$
$x=-2$ を代入して $b=-1$
（解答おわり）
なぜそう思いましたか？
減点されるんじゃ…
テストの答案として
説明不足ですし、本人はかなり無神経に数値を代入しただけだろうなという印象です。
大学入試のような公平性が求められるテストなら、減点できない
これが体裁上問題ないのは、次の定理を根拠に使ったと読めるからです。
（書いた本人はわけも分からず変形した可能性が高いですが…）
多項式一致の定理
$n$ 次以下の多項式 $f(x)$ と $g(x)$ について、異なる数 $a_{1},a_{2},…,a_{n},a_{n+1}$ について
$f(a_{1})=g(a_{1})$
$f(a_{2})=g(a_{2})$
……
$f(a_{n+1})=g(a_{n+1})$
が成り立つとき、$f(x)$ と $g(x)$ は同じ多項式である。
何のことですか…？
放物線は2次式でかけるので、3点決めたら必ず1つの式に定まるはずだ、ということを保証する定理です。
「2次式だったら3点で決まる」ですね！
証明は分からないですけど…
証明
具体的に、2次式だとして証明します。
（次数を増やすのは文字の種類を増やすだけでできるので省略します）
$f_{2}(x)$ と $g_{2}(x)$ を高々2次の多項式とします。
つまり、$ax^2+bx+c$ のように書ける式だということです。
（高々2次式だと分かりやすいように添え字をつけています。）
まだ $f_{2}(x)$ と $g_{2}(x)$ はまだ何者かは詳しく分かっていません。
…？
$f_{2}(a_{1})=g_{2}(a_{1})$ ……①
$f_{2}(a_{2})=g_{2}(a_{2})$ ……②
$f_{2}(a_{3})=g_{2}(a_{3})$ ……③
さて、定理の主張を確認しておきましょう。
この仮定の下で、何が成り立つことを示せばいいのですか？
①より
$f_{2}(a_{1})-g_{2}(a_{1})=0$
であるから、
$f_{2}(x)-g_{2}(x)$ は（ ）で割り切れる。
$f_{2}(x)-g_{2}(x)$ は $x-a_{1}，x-a_{2}，x-a_{3}$ で割り切れる
ということは…
$f_{2}(x)-g_{2}(x)=a(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})$
でも何かおかしくないですか？
え…？
…あ、3次式？
ええ、変ですね。$f_{2}(x)-g_{2}(x)$ は高々2次式のはずなのに、右辺はそうではありませんね？
これを解決する方法は…
$a=0$ です！
$a=0$ にしないと、右辺が3次以上の多項式になってしまいますからね。
結局 $f_{2}(x)-g_{2}(x)=0$ となって、$f_{2}(x)$ と $g_{2}(x)$ は一致することが分かりました。
あのすみません、「一致」というのがちょっとピンとこないんですが…
$f_{2}(x)$ と $g_{2}(x)$ に課した条件は、「3か所で一致せよ」だけであって、「すべてにおいて一致せよ」ではないわけです。
ということは、$ax^2+bx+c$ の係数が異なることもあり得そうなものですが、この定理によって、そんなことはないと示されたのです。
まとめると、
$f(x)=g(x)$ が恒等式になる
つまり
$f(x)=g(x)$ に何を代入しても等しい
としたければ、
$(f(x)$ の次数$)＋１$ 個の値で等しい
となるようにするだけでよいのです。
冒頭の答案
分母を払った式
$$a(x+2)+b(x-2)=4$$
こうすると、多項式の一致の定理によりこの等式は恒等式になります。
「数値代入法は十分性を確認せよ」は嘘
です。
元の式
条件を求めるために代入したものは $x=2$ と $x=-2$ でしたが、途中経過はもう関係ありません。何を代入しても等しいです。
さて、分母を払う前の等式は、恒等式になりますか？
払った後が恒等式なんだから、払う前も恒等式です！
そうか、もとの式に $x=2$ を代入しているわけではないんですね！
補足
えっと…
$2,-2$ 以外はすべてということは、当然2個以上で値が一致しています！これは1次式だから…
まとめ
しかも実際に採点するのは大学の先生ですから、僕の基準だってどこまで正しいかは分かりません。
多分そうだとは思いますが、そもそもこの問題が入試問題の記述で出題されたりしないでしょう。簡単すぎます。
採点基準もその時々で変わるので、この場合は何を書いたら減点、何を書かなかったら減点…と考えていくのは余り建設的とは思いません。
