不等式で絞り込む不定方程式

この手の問題を解くときに考えるのは、「不等式を作って絞り込む」ことです。

文字の差し替え

いろいろ試しながら不等式を作るのですが、$x≦y≦z$ をもとにして、より大きい文字や小さい文字に差し替えていくというのが基本戦略です。

差し替える…？

やってみましょう。ここでは、$x$ も $y$ も $z$ に差し替えてしまいます。

$x≦z,y≦z$ なので

$$x+y+z≦z+z+z=3z$$

「$x$ や $y$ を $z$ に差し替えると大きくなる」という不等式です。

なるほど、これのことを差し替えると言っているわけですか…

$$x+y+z≦3z$$

こうなったわけですが、$xyz=x+y+z$ なので、

$$xyz≦3z$$

$$xy≦3$$

となります。

この条件をみたすのは、$(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3)$ だけです。

これが「不等式を作って絞り込む」ということですね！

順に検討

$(x,y)=(1,1),(1,2),(1,3)$ を順に $xyz=x+y+z$ にもどしていきましょう。

(ⅰ)　$(x,y)=(1,1)$ のとき

$z=1+1+z$

これを成立させる $z$ はありませんね。

(ⅱ)　$(x,y)=(1,2)$のとき

$2z=1+2+z$ より

$z=3$

これは条件をみたします。

(ⅲ)　$(x,y)=(1,3)$ のとき

$3z=1+3+z$

$z=2$

$z<y$ となって、条件をみたしません。

以上より、(ⅱ)のときのみが生き残って、求める組は

$(x,y,z)=(1,2,3)$　（解答終わり）

結局、この１つだけでしたか。

色々代入していけばこの1組はすぐに見つかるでしょうが、他の組が存在しないことが分かる答案にするのは案外難しいものです。

練習問題

この問題をやってみてください。

差し替えて絞り込む…

じゃあ… $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}$ を全部 $z$ に差し替えてみます！

それでやってみましょうか。

$x<y<z$ ってことは

$\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{z},\dfrac{1}{2y}>\dfrac{1}{2z}$ になるから…

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}>\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{2z}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{11}{6z}$$

つまり…

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}>\dfrac{11}{6z}$$

$$\dfrac{4}{3}>\dfrac{11}{6z}$$

$$z>\dfrac{11}{6}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{8}$$

$$z>\dfrac{11}{8}$$

と分かったから…

…ああ、ダメです…全然しぼれていません…！

惜しい。失敗しましたが、いい感じですよ。

そうやって試行錯誤してみてください。

じゃあ… $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}$

を全部 $x$ に差し替えで！

今度は大小関係が逆で…

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}<\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{3x}=\dfrac{11}{6x}$$

あ、これはいける！

$$\dfrac{4}{3}<\dfrac{11}{6x}$$

$$x<\dfrac{11}{8}$$

$x=1$ で決定です！

元の式に戻して、もう一度同じことをしましょう。

$$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{4}{3}$$

$$\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{1}{3}$$

$z$ を $y$ に差し替え…

$$\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}<\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3y}=\dfrac{5}{6y}$$

$$\dfrac{1}{3}<\dfrac{5}{6y}$$

$$y<\dfrac{5}{2}$$

$y=1,2$ のどちらかです！

慣れてきましたね。では、

(ⅰ)　$y=1$ のとき

(ⅱ)　$y=2$ のとき

の2通りを調べてみてください。

(ⅰ)　$y=1$ のときは…

$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{1}{3}$$

$$z=-2$$

これは不適ですね。

(ⅱ)　$y=2$ のときは…

$$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{1}{3}$$

$$z=4$$

こっちはOKです！

$$(x,y,z)=(1,2,4)$$

（解答終わり）

最後に、答案としてまとめておきましょう。

解答

$x<y<z$ より

$\dfrac{1}{2y}<\dfrac{1}{2x},\dfrac{1}{3z}<\dfrac{1}{3x}$

よって

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}<\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{3x}=\dfrac{11}{6x}$

$\dfrac{4}{3}<\dfrac{11}{6x}$

$x<\dfrac{11}{8}$

であるから

$x=1$

よって

$\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{1}{3}$

ここで

$\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3z}<\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{3y}=\dfrac{5}{6y}$

$\dfrac{1}{3}<\dfrac{5}{6y}$

$y<\dfrac{5}{2}$

であるから、$y=1,2$

(ⅰ)　$y=1$ のとき

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{1}{3}$

$z=-2$

$z$ は自然数より不適。

(ⅱ)　$y=2$ のとき

$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3z}=\dfrac{1}{3}$

$z=4$

これは条件をみたす。

以上より、求める自然数の組は $(x,y,z)=(1,2,4)$　（解答終わり）

ABOUT ME

e-yobi

北海道大学工学研究科　修士課程修了。 専門は複雑系における物理現象。 大学卒業後は商社でネットワークエンジニアとして働いていました。 4年で退職し、教員免許を取得。 公立高校・私立高校の教員を経て、現在は関西で予備校講師をしています。

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