数学3

積和公式の利用

教科書基本レベル

次の不定積分を求めよ。

sin3xcos2xdx

積分の得意分野と不得意分野はなんだったか覚えていますか?
覚えていますよ!積が苦手、和が得意、です。
三角関数の積になっているものの積分は、積を和に変換する公式、積和公式を使います。
積和公式…
覚えにくい公式なので、その都度つくるのが普通ですね。加法定理を足し引きして作ります。今回はsincosの積ですね。サインとコサイン、「咲いたコスモス」なので…
sin(α+β)の加法定理を使うんですね!

積和公式の導出

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ

の辺々を足して2で割ると、

sinαcosβ=12{sin(α+β)+sin(αβ)}

となります。

解答

これで準備は完了です。

α=3xβ=3xとすれば

sin3xcos2x=12(sin5x+sinx)

となるので、

sin3xcos2xdx=12(sin5x+sinx)dx=110cos5x12cosx+C

です。

ABOUT ME
e-yobi
北海道大学工学研究科 修士課程修了。 専門は複雑系における物理現象。 大学卒業後は商社でネットワークエンジニアとして働いていました。 4年で退職し、教員免許を取得。 公立高校・私立高校の教員を経て、現在は関西で予備校講師をしています。