積和公式の利用｜オンライン予備校 e-YOBI ネット塾

教科書基本レベル

次の不定積分を求めよ。

$\int\sin3x\cos2xdx$

積分の得意分野と不得意分野はなんだったか覚えていますか？

覚えていますよ！積が苦手、和が得意、です。

三角関数の積になっているものの積分は、積を和に変換する公式、積和公式を使います。

積和公式…

覚えにくい公式なので、その都度つくるのが普通ですね。加法定理を足し引きして作ります。今回は

\sin

$\sin$ と

\cos

$\cos$ の積ですね。サインとコサイン、「咲いたコスモス」なので…

\sin (α + β)

$\sin(\alpha+\beta)$ の加法定理を使うんですね！

$\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

の辺々を足して2で割ると、

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}$

となります。

これで準備は完了です。

$\alpha=3x$ 、 $\beta=3x$ とすれば

$\sin3x\cos2x=\frac{1}{2}\left(\sin5x+\sin x\right)$

となるので、

$\begin{align*}& \int\sin3x\cos2xdx\\= & \int\frac{1}{2}\left(\sin5x+\sin x\right)dx\\= & -\dfrac{1}{10}\cos5x-\frac{1}{2}\cos x+C\end{align*}$

です。

1sin2x1sin2⁡x\frac{1}{\sin^{2}x} の積分