教科書基本レベル
次の不定積分を求めよ。
∫sin3xcos2xdx
積分の得意分野と不得意分野はなんだったか覚えていますか?
三角関数の積になっているものの積分は、積を和に変換する公式、積和公式を使います。
覚えにくい公式なので、その都度つくるのが普通ですね。加法定理を足し引きして作ります。今回はsinとcosの積ですね。サインとコサイン、「咲いたコスモス」なので…
sin(α+β)の加法定理を使うんですね!
積和公式の導出
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
の辺々を足して2で割ると、
sinαcosβ=12{sin(α+β)+sin(α−β)}
となります。
解答
これで準備は完了です。
α=3x、β=3xとすれば
sin3xcos2x=12(sin5x+sinx)
となるので、
∫sin3xcos2xdx=∫12(sin5x+sinx)dx=−110cos5x−12cosx+C
です。