入試基本レベル
桁数と最高位の数
\(3^{100}\)の桁数と最高位の数を求めよ。ただし\(\log_{10}2=0.3010\)，\(\log_{10}3=0.4771\)としてよい。
$$\log_{10}3^{100}=47.71$$
つまり$$3^{100}=10^{47.71}$$である。
よって桁数は48。
ここで\(\log_{10}5 =1-\log_{10}2=0.6990\)より
$$\log_{10}6 =\log_{10}2+\log_{10}3=0.7781$$
だから，$$10^{0.6990}\cdot10^{47}<10^{47.71}<10^{0.7781}\cdot10^{47}$$
つまり$$5\cdot10^{47}<3^{100}<6\cdot10^{47}$$
であるから最高位の数は5。
