文字の置き換えによる基本的な解法を学びましょう。
問題
$x>1,y>1,xy^{2}=16$ のとき、$(\log_{2}x^{2})(\log_{2}y)$ の最大値を求めよ。
解法1 まず置換え
$x>1,y>1$ において、
$(\log_{2}x^{2})(\log_{2}y)=(2\log_{2}x)(\log_{2}y)$
と書き換えられるので、
$\log_{2}x=X$
$\log_{2}y=Y$ と置くことで
$(\log_{2}x^{2})(\log_{2}y)=2XY$
となる。
と置いたわけですから、やるべき操作は決まってきます。
$xy^{2}=16$ の両辺を底を $2$ とする対数をとって、
$\log_{2}xy^{2}=\log_{2}16$
$\log_{2}x+2\log_{2}y=4$
よって
$X+2Y=4$
と書き換えられる。
「$X+2Y=4$ のとき、$2XY$ の最大値を求めよ。」
と書き換えられました。
ただし、よく言われるように「置換えたら範囲を考える」ことを忘れないでください。
$x>1$ より
$X=\log_{2}x>\log_{2}1=0$
よって $X>0$
$y>1$ より
$Y=\log_{2}y>\log_{2}1=0$
よって $Y>0$
「$X>0, Y>0, X+2Y=4$ のとき、
$2XY$ の最大値を求めよ。」
という問題に差し変わったことになります。
あとは…
2変数なので、1文字消去すればいいですね！
$X+2Y=4$ より
$X=4-2Y$
よって
$2XY=2(4-2Y)Y$
$=4(2-Y)Y$
$X$ の条件も考えないといけないわけですが、$X$ は消去してしまいました。
$X$ の範囲を $Y$ の範囲にしっかりと引き継ぐのです。
$X=4-2Y$ なので、
$X>0$ より
$4-2Y>0$
つまり、
$Y<2$ となる。
$Y>0$ と合わせて
$0<Y<2$
$4(2-Y)Y=-4(Y-1)^{2}+4$
よって
$Y=1$
つまり $\log_{2}y=1$
$y=2$ で最大値 $4$ をとる。
$X=4-2\cdot1=2$
$\log_{2}x=2$…
つまり $x=1$ です！
解法2 まず1文字消去
$xy^{2}=16$ より、
$x=\dfrac{16}{y^{2}}$
として、$x$ を消去してしまってもいいでしょう。
$\log_{2}y=Y$ とおいて、
$$\begin{align*}(\log_{2}x^{2})(\log_{2}y) & =(2\log_{2}x)(\log_{2}y)\\& =2\left(\log_{2}\dfrac{16}{y^{2}}\right)(\log_{2}y)\\& =2(\log_{2}16-2\log_{2}y)(\log_{2}y)\\& =2(4-2Y)Y\end{align*}$$
と変形できます。
ただし、文字を消去するときには範囲を引き継ぐので、
$x=\dfrac{16}{y^{2}}>1$
$16>y^{2}$
これを解いて
$-4<y<4$
これと $y>1$ より
$1<y<4$
よって
$0<\log_{2}y<2$
つまり
$0<Y<2$
答案
$x>1,y>1$ において、
$\log_{2}x=X, \log_{2}y=Y$ と置くと
$(\log_{2}x^{2})(\log_{2}y)=(2\log_{2}x)(\log_{2}y)=2XY$
となる。ここで
$xy^{2}=16$ の両辺を底を $2$ とする対数をとると、
$\log_{2}xy^{2}=\log_{2}16$
$\log_{2}x+2\log_{2}y=4$
よって
$X+2Y=4$
と書き換えられる。
また $x>1$ より
$X=\log_{2}x>\log_{2}1=0$ から $X>0$
$y>1$ より
$Y=\log_{2}y>\log_{2}1=0$ から $Y>0$
ここで
$X+2Y=4$ より $X=4-2Y$
$X>0$ より $4-2Y>0$
つまり、$Y<2$ となる。
$Y>0$ と合わせて $0<Y<2$
よって
$2XY=2(4-2Y)Y$
$\hspace{2.4em}=4(2-Y)Y$
$\hspace{2.4em}=-4(Y-1)^{2}+4 (0<Y<2)$
より
$Y=1$,つまり $\log_{2}y=1$
$y=2$ で最大値をとる。
このとき、
$X=4-2\cdot1=2$
$\log_{2}x=2$ つまり $x=1$
以上より、
$x=1,y=2$ で最大値 $4$ をとる。
