次数下げによる極値計算
※スマホの場合、横向きを推奨
次の問題を解いてみてください。
ちょっとした罠が仕掛けてあります。
問題
$f(x)=2x^{3}+9x^{2}-6x$ の極小値を求めよ。
極値をとる $x$ の値を求める
$f'(x)=6x^{2}+18x-6$
$x=\dfrac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$
だから極小値は…
$f\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)$$=2\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)^{3}+9\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)^{2}-6\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)$
代入計算の工夫
計算ミスを防ぐために、ここでは次数下げの方法を利用しましょう。
$$f(x)=2x^{3}+9x^{2}-6x$$
代わりに、$f'(x)$↓に代入ならどうですか？
$$f'(x)=6x^{2}+18x-6$$
2次式なので、ちょっと楽ではありますけど…
$x=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}$ は、極値をとる $x$ ですよ。導関数の値はどうなりますか？
$f’\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)$
$=6\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)^{2}+18\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)-6$
$=0$
結果は0と分かっているんですね！
さらに、$f'(x)$ を $6$ で割った $x^{2}+3x-1$ に入れても $0$ であることも分かりますね。
割り算による変形
$x^{2}+3x-1$ が式の中にでてきて欲しいわけですから、
$2x^{3}+9x^{2}-6x$ を $x^{2}+3x-1$ で割って…
$2x^{3}+9x^{2}-6x$ を $x^{2}+3x-1$ で割ると、
商が $2x+3$ 、余りが $-13x+3$ です！
$$f(x)=(x^{2}+3x-1)(2x+3)-13x+3$$
余りへの代入
$f\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right) $
$=-13\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\right)+3$
$=\dfrac{45}{2}-\dfrac{13\sqrt{13}}{2}$
