同じものを含むじゅず順列
問題
白玉1個、赤玉2個、青玉4個、黄玉6個をすべて糸でつないでネックレスを作る。
何種類のネックレスができるか。
これは見た目よりもはるかに難しい問題です。
まずは順を追って、例題を何題か解くところから始めましょう。
例題１
(図１)の3つのブロックをつなげて1本の棒をつくる。
何種類の棒できるか。
(図１）
例題２
図2の4つのブロックをつなげて1本の棒をつくる。
何種類の棒できるか。
（図２）
というわけで、棒の作り方は何通りありますか？
式にすると、$\left(\dfrac{4!}{2!2!}-2\right)\div2+2=4$
で4通りです。
だから一旦その2つを避けて割って、後からその2つを足したのです。
$$\left(\dfrac{4!}{2!2!}-2\right)\div2$$
それに後から③と④を足して…
$$\left(\dfrac{4!}{2!2!}-2\right)\div2+2$$
求める場合の数は、
$\left(\dfrac{4!}{2!2!}-2\right)\div2+2=4$（通り）
例題３
異なる5つの玉をつないでネックレスを作る。何種類のネックレスができるか。
裏返して同じものができるから、
$4!÷2=12$（通り）
問題 再び
白玉1個、赤玉2個、青玉4個、黄玉6個をすべて糸でつないでネックレスを作る。何種類のネックレスができるか。
白玉が1個だけなので白玉を固定して…
のこりの並べ方は $\dfrac{12!}{2!4!6!}=13860$（通り）で…
先ほどの例を思い出してください。
左右対称であるのは何通りありますか？
$\dfrac{6!}{2!3!}=60$ (通り)
$\left(13860-60\right)\div2+60=6960$
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