ここでは、「積の微分」と「商の微分」の公式の導出をします。
※スマホの場合、横向きを推奨
積の微分
$\left\{ f(x)\cdot g(x)\right\}’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
証明
まずは導関数の定義そのままに式を立てましょう。
$f'(x)=\underset{h→0}{\lim}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
$\left\{f(x)\cdot g(x)\right\}’=\underset{h→0}{\lim}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}$
$f(x+h)=f(x)+\dfrac{\Delta f}{\Delta x}h$
と置き換えてみましょう。ただし、
$\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ です。
$f(x+h)$を、「$f(x)＋$（少し）」という見方をします。
この「少し」が $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}h$ です。
$f(x)+\dfrac{\Delta f}{\Delta x}h$ に入れてみましょう。
$f(x)+\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}h$ を計算すると、確かに
$f(x)+\dfrac{\Delta f}{\Delta x}h=f(x+h)$
となります。
同様にして、$g(x+h)=g(x)+\dfrac{\Delta g}{\Delta x}h$
ただし $\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}=\dfrac{\Delta g}{\Delta x}$
と置きましょう。
$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ という形は、微分の定義式と同じ形になっていますね。だから、
$\underset{h→0}{\lim}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{h→0}{\lim}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$
となるのです。極限をとると $f(x)$ の導関数になるような、導関数の原型を作り出したということです。
$\left\{ f(x)\cdot g(x)\right\}’$
$=\underset{h→0}{\lim}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}$
$=\underset{h→0}{\lim}\dfrac{\left\{ f(x)+\frac{\Delta f}{\Delta x}h\right\} \left\{ g(x)+\frac{\Delta g}{\Delta x}h\right\} -f(x)\cdot g(x)}{h}$
$=\underset{h→0}{\lim}\dfrac{f(x)\cdot g(x)+\frac{\Delta f}{\Delta x}g(x)h+f(x)\frac{\Delta g}{\Delta x}h+\frac{\Delta g}{\Delta x}\cdot \frac{\Delta f}{\Delta x}h^2-f(x)\cdot g(x)}{h}$
$=\underset{h→0}{\lim}\left(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}g(x)+f(x)\dfrac{\Delta g}{\Delta x}+\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\cdot \dfrac{\Delta f}{\Delta x}h\right)$
あっ、ここで $\underset{h→0}{\lim}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}=f'(x)$ と
$\underset{h→0}{\lim}\dfrac{\Delta g}{\Delta x}=g'(x)$ を使えば…
$$\left\{ f(x)\cdot g(x)\right\}’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
例題
$x^{3}\left(3x-1\right)^{4}$ を微分せよ。
$\left\{ x^{3}\left(3x-1\right)^{4}\right\}’=3x^{2}\left(3x-1\right)^{4}+x^{3}\left\{ \left(3x-1\right)^{4}\right\}’$
$\hspace{65pt}=3x^{2}\left(3x-1\right)^{4}+x^{3}\cdot 4\left(3x-1\right)^{3}\cdot 3$
$\hspace{65pt}=3x^{2}\left(3x-1\right)^{3}(3x-1+4x)$
$\hspace{65pt}=3x^{2}\left(3x-1\right)^{3}\left(7x-1\right)$ ・・・答え
絶対ダメなわけではないですが、普通は展開したりはしないですね。
増減を調べるときを思い出してください。因数分解しますよね。
商の微分
$\left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\left\{ g(x)\right\} ^{2}}$
証明
積の微分がみちびけたら、商の微分の公式を作るのは簡単です。
$\left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\left\{ f(x)\cdot \dfrac{1}{g(x)}\right\}’$
$\hspace{40pt}=f'(x)\cdot \left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\} +f(x)\cdot \left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\}’$
$g(x)$ をカタマリとみるから、
$\left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\}’=-\dfrac{1}{\left\{ g(x)\right\} ^{2}}\cdot g'(x)$
ですね。
$\hspace{40pt}=f'(x)\cdot \left\{ \dfrac{1}{g(x)}\right\} +f(x)\cdot \left\{ -\dfrac{g'(x)}{\left\{ g(x)\right\} ^{2}}\right\}$
$\hspace{40pt}=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\left\{ g(x)\right\} ^{2}}$
$$\left\{ \dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\dfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\left\{ g(x)\right\} ^{2}}$$
例題
$\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}$ を微分せよ。
解答
$\left\{ \dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}\right\}’=\dfrac{3x^{2}\left(x^{2}+1\right)-x^{3}\cdot 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$
$\hspace{50pt}=\dfrac{3x^{4}+3x^{2}-2x^{4}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$
$\hspace{50pt}=\dfrac{x^{2}\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$
