教科書発展レベル
反復試行の確率
AとBが何回か試合をし，先に3回勝った方を勝者とする。1回の試合でAが勝つ確率が\(\frac{2}{3}\)，Bが勝つ確率が\(\frac{1}{3}\)であるとき，Aが勝者になる確率を求めよ。
Aが勝者になるのは次の3つの場合がある。
1. Aが3連勝する場合
その確率は$$\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}$$
2. Aの3勝1敗になる場合
その確率は$$_{3}{\rm C}_{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$$
3. Aの3勝2敗になる場合
その確率は$$_{4}{\rm C}_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{81}$$
(i)(ii)(iii)あわせて，求める確率は\(\frac{64}{81}\)
