循環小数の分数化
$0.\dot{3}\dot{6}$を分数で表せ。
循環小数の分数化の方法3種
循環小数を分数で表すのは定番の問題ですが、その方法として3種類紹介します。
方法1 100倍して引く
解答
$x=0.\dot{3}\dot{6}$ ……① とおく。
両辺に100をかけて
$100x=36.\dot{3}\dot{6}$ ……②
②－①より、
$99x=36$ となるので、
$x=\dfrac{4}{11}$
方法2 無限等比級数と見る
$0.36363636…$
$=0.36+0.0036+0.000036+…$
これは初項 $0.36$、公比 $\dfrac{1}{100}$ の無限等比級数なので、
$\dfrac{0.36}{1-\frac{1}{100}}=\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}$
方法3 $\frac{1}{99}$ を考える
分かってしまえばとてもシンプルな方法です。
受験科目がⅠAのみの人に特におすすめの方法です。
$0.\dot{0}\dot{1}=\dfrac{1}{99}$ なので、
$0.\dot{3}\dot{6}=\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}$ （解答終わり）
$0.\dot{0}\dot{1}$ さえ出来てしまえば、循環の長さが $2$ の循環小数は全て作れるということです。
この問題でいうと、$0.\dot{3}\dot{6}$ を作るには36倍すればいいという。
$\dfrac{1}{3}=0.3333…$ですよね。
これは3倍すると、$1=0.\dot{9}$ となります。
これで言いたいことは、循環小数を変形して $0.\dot{9}$ を作れたなら、それは $1$ と等しいと考えていいということです。
あ、それ悩んだことあります。
どこまで行っても $1$ にはならないけど、無限に続くなら $1$、ってことですね。
$\dfrac{1}{3}=0.3333…$だってイコールで結ばれていますが、どこまで3を書き続けても本当に等しくなることはないですよね。無限に続くなら等しいということです。
つまり…
$0.\dot{0}\dot{1}×99=0.\dot{9}=1$
$0.\dot{0}\dot{1}=\dfrac{1}{99}$
あとはこれの両辺を36倍すれば
$0.\dot{3}\dot{6}=\dfrac{36}{99}$
練習問題
では具体的な問題を解いてみましょう。
$0.2\dot{3}\dot{6}$ を分数で表せ。
方法2で解く
$0.2\dot{3}\dot{6}$
$=0.2+0.036+0.00036+0.0000036…$
ここで初項 $0.036$、公比 $\dfrac{1}{100}$ の無限等比級数は
$\dfrac{0.036}{1-\dfrac{1}{100}}=\dfrac{36}{1000-10}=\dfrac{36}{990}=\dfrac{2}{55}$
なので
$0.2\dot{3}\dot{6}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{55}$
$=\dfrac{11}{55}+\dfrac{2}{55}$
$=\dfrac{13}{55}$ …（答え）
方法3で解く
$0.2\dot{3}\dot{6}=0.2+0.0\dot{3}\dot{6}$
$=\dfrac{1}{5}+0.\dot{3}\dot{6}÷10$
計算を続けると、
$=\dfrac{1}{5}+0.\dot{3}\dot{6}÷10$
$=\dfrac{1}{5}+\dfrac{36}{990}$
あとは通分して、
$=\dfrac{11}{55}+\dfrac{2}{55}$
$=\dfrac{13}{55}$ …（答え）
