三角関数の公式（加法定理から）

三角関数の各公式を次々と作っていきましょう。

覚えてしまった方がいい公式もありますし、その都度つくった方がいいものもあります。

導くのは簡単な公式ばかりなので、覚える覚えないはさておき「作ろうと思えば作れる」状態にしておきましょう。

三角関数の加法定理

加法定理は単位円と余弦定理から導く方法が教科書に載っていると思いますが、ここでは証明は置いておいて、いったん下の4式を認めてしまいましょう。

三角関数の公式の大部分は、この加法定理を変形して作られています。

2倍角の公式

$\alpha=\beta=\theta$ と置き換えることで2倍角の公式を作ることができます。

導出

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ から、

$\sin(\theta+\theta)=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta$

つまり $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

同様に $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ から

$\cos2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$

ここで $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ をつかって、

$\cos2\theta=\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)$

$\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$

または $\cos2\theta=(1-\sin^{2}\theta)-\sin^{2}\theta$ から

$\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$

2倍角の公式は使用頻度が高いので使っているうちに覚えるでしょう。

半角公式

$\cos$ の2倍角の公式を変形すれば半角公式ができます。

導出

$\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ を変形して

$\cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$

$\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$ を変形して

$\sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$

半角公式の別表記

$\theta$ を $\dfrac{\theta}{2}$ に置き換えて

$\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$

$\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$

と書くこともあります。

半角公式は高校2年の間は使用機会があまりありませんが、そのうち利用価値が上がっていきます。

3倍角の公式

$\theta=\theta+2\theta$ として加法定理を使うだけです。$\sin$ の公式はすべて $\sin$ で、$\cos$ の公式はすべて $\cos$ で表すのを目標に変形すれば完了です。

導出

$\begin{align*}\sin(\theta+2\theta) & =\sin\theta\cos2\theta+\cos\theta\sin2\theta\\& =\sin\theta(1-2\sin^{2}\theta)+\cos\theta・2\sin\theta\cos\theta\\& =\sin\theta-2\sin^{3}\theta+2\sin\theta\cos^{2}\theta\\& =\sin\theta-2\sin^{3}\theta+2\sin\theta(1-\sin^{2}\theta)\\& =3\sin\theta-4\sin^{3}\theta\end{align*}$

$\begin{align*}\cos(\theta+2\theta) & =\cos\theta\cos2\theta-\sin\theta\sin2\theta\\& =\cos\theta(2\cos^{2}\theta-1)-\sin\theta・2\sin\theta\cos\theta\\& =2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2\sin^{2}\theta\cos\theta\\& =2\cos^{3}\theta-\cos\theta-2(1-\cos^{2}\theta)\cos\theta\\& =4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\end{align*}$

積和公式

加法定理を足し引きすることで作ることができます。

導出

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$　……①

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$　……②

として、①＋②より

$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$

つまり

$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\} $

さらに

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$　……③

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$　……④

として、③＋④より

$\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$

つまり

$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\}$

③ー④より

$\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)=-2\sin\alpha\sin\beta$

つまり

$\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\}$

が導かれます。

この公式は暗記に向かないので、必要に応じて作るのが普通です。

どんな場面で利用するのかは別の機会にお話ししましょう。

和積公式

積和公式で角を他の文字に置き換えすれば和積公式になります。

導出

①＋②とした式

$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$

において、

$\alpha+\beta=A$　……⑤

$\alpha-\beta=B$　……⑥

とおくと、

$\alpha=\dfrac{A+B}{2}$

$\beta=\dfrac{A-B}{2}$

となります。

⑤＋⑥から文字を消去しているだけですが、わかりますか？

⑤と⑥の連立方程式を解くように、⑤＋⑥で $2\alpha=A+B$ …としているんですね。

文字を置き換えて

$\sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$

となります。他の式からも同様につくれば、下のようになります。

この公式も使いべき場面があるのですが、使い方についてはまたの機会にお話しします。

ABOUT ME

e-yobi

北海道大学工学研究科　修士課程修了。 専門は複雑系における物理現象。 大学卒業後は商社でネットワークエンジニアとして働いていました。 4年で退職し、教員免許を取得。 公立高校・私立高校の教員を経て、現在は関西で予備校講師をしています。

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