三角関数の合成

加法定理により、例えば

$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

$=\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x$

となるのは分かりますね？

これを逆算するのを合成と言います。

(右辺)=$\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x$

を先に見せられて、もともとが

(左辺)=$\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

であったことを逆算するのです。

まずは

$\dfrac{1}{2}$$\sin x+$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\cos x$

と、加法定理から$\sin(x+\alpha)$を展開した

$\sin x$$\cos\alpha$$+\cos x$$\sin\alpha$

とを見比べて、

$\cos\alpha=\dfrac{1}{2}$

$\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

となる角を探します。このような $\alpha$ は見つかりますか？

というわけで

$\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x$

$=\sin x\cos\dfrac{\pi}{3}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{3}$

となって、

$\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

と合成できるのです。

$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ をみたすようににくくりだしました。

1 と $\sqrt{3}$ のままでは $1^{2}+\sqrt{3}^{2}=4$

となって、$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ を満たさなくなってしまいます。

右辺を1にするために両辺を4で割ると $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=1$ となりますから、2で割れば $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ が成立すると分かります。

$\sin x+\sqrt{3}\cos x$ の合成をもう少し機械的にやることを考えましょう。

はじめは理由をしっかり考えながらゆっくり進めていきます。

分母の $r^{2}$ を払ってルートをとったんです。両辺に $r^{2}$ をかけると、$1^{2}+\sqrt{3}^{2}=r^2$ となりますから。

これは、$r$ が上の図の斜辺の長さであることを意味します。(三平方の定理より)

「いつ合成したらいいんですか？」と聞かれることも多いです。

「いつ使ったらいいか」の代わりに、「いつなら使えるか」でお答えしておきましょう。