三角関数の方程式について、2種類の解き方で解いてみましょう。
問題
三角関数の方程式
$0<x≦\pi$ とする。
$\sin3x+\sin x=\cos x$
を満たす$x$ の値をすべて求めよ。
3倍角の公式の利用
３倍角の公式で変換し、因数分解すれば解けます。
「方程式を解くためには因数分解」という原則にのっとって解くだけです。
$\sin3x+\sin x=\cos x$ を3倍角の公式で変形して、
$3\sin x-4\sin^{3}x+\sin x=\cos x$
$4\sin x-4\sin^{3}x-\cos x=0$
$4\sin x(1-\sin^{2}x)-\cos x=0$
因数分解が目標ですよね。共通因数は見つかりますか？
$(1-\sin^{2}x)$ の中に $\cos x$ が隠れていますね！
$1-\sin^{2}x=\cos^2 x$ ですからね。
計算を続けると
$4\sin x\cos^{2}x-\cos x=0$
$\cos x(4\sin x\cos x-1)=0$
2倍角の公式から
$\cos x(2\sin2x-1)=0$
すなわち $\cos x=0$ または $\sin2x=\dfrac{1}{2}$
ここで $0<2x≦2\pi$ であるから
$x=\dfrac{\pi}{12},\dfrac{5}{12}\pi,\dfrac{\pi}{2}$ …（解答終り）
和積公式の利用
同じ問題を別の方法で解いてみましょう。
$\sin3x+\sin x=\cos x$ を和積公式で変形して、
$2\sin2x\cos x=\cos x$
$\cos x(2\sin2x-1)=0$
すなわち $\cos x=0$ または $\sin2x=\dfrac{1}{2}$
ここで $0<2x≦2\pi$ であるから
$x=\dfrac{\pi}{12},\dfrac{5}{12}\pi,\dfrac{\pi}{2}$ …（解答終り）
いちいち公式を作るのが面倒ですね。3倍角で解けるのに、和積公式は必要ですか…？
…ならば、次の問題に挑戦してもらいましょうか…
えっ…（言わなきゃよかった…）
三角関数の方程式（和積公式の利用）へ続く
