三角関数の方程式（和積公式の利用）

和積公式を使わないと解くのが難しい問題を扱ってみましょう。

問題

和積公式が効果を発揮する問題です。

$\sin4x+\sin x$+$\sin3x+\sin2x$$=0$

と組み合わせを工夫するのがポイントです。

和積公式の利用

和積公式を使って、

$\sin4x+\sin x=2\sin\dfrac{4x+x}{2}\cos\dfrac{4x-x}{2}=2\sin\dfrac{5}{2}x\cos\dfrac{3}{2}x$

$\sin3x+\sin2x=2\sin\dfrac{3x+2x}{2}\cos\dfrac{3x-2x}{2}=2\sin\dfrac{5}{2}x\cos\dfrac{x}{2}$

なので、与式は

$2\sin\dfrac{5}{2}x\cos\dfrac{3}{2}x+2\sin\dfrac{5}{2}x\cos\dfrac{x}{2}=0$

となります。

$\sin x+\sin4x$ の順番ではダメですか？

それだと $2\sin\dfrac{5}{2}x\cos\left(-\dfrac{3}{2}x\right)$ となって中身の符号がマイナスになってしまいますからね。

まあ、$\cos(-x)=\cos x$ なので同じことなんですが。

共通因数をくくる

組み合わせを工夫したので、共通因数が現れました。因数分解できてしまえば、あとは作業を順にこなしていくだけです。

$2\sin\dfrac{5}{2}x\left(\cos\dfrac{3}{2}x+\cos\dfrac{x}{2}\right)=0$

すなわち、$\sin\dfrac{5}{2}x=0$ または $\cos\dfrac{3}{2}x+\cos\dfrac{x}{2}=0$ となりました。

$0≦x≦\pi$ の範囲では $0≦\dfrac{5}{2}x≦\dfrac{5}{2}\pi$ なので、

$\sin\dfrac{5}{2}x=0$ となるのは

$\dfrac{5}{2}x=0,\pi,2\pi$ のとき。

つまり $x=0,\dfrac{2}{5}\pi,\dfrac{4}{5}\pi$

3倍角の公式の利用

あとは $\cos\dfrac{3}{2}x+\cos\dfrac{x}{2}=0$ を解きましょう。

さらに和積公式を使ってもいいですが、ここでは3倍角の公式を使って解きましょうか。

3倍角の公式より

$\cos\dfrac{3}{2}x=4\cos^{3}\dfrac{x}{2}-3\cos\dfrac{x}{2}$

なので、

$4\cos^{3}\dfrac{x}{2}-3\cos\dfrac{x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}=0$

$4\cos^{3}\dfrac{x}{2}-2\cos\dfrac{x}{2}=0$

$2\cos\dfrac{x}{2}\left(2\cos^{2}\dfrac{x}{2}-1\right)=0$

$\cos\dfrac{x}{2}=0,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$0≦x≦\pi$ の範囲では

$0≦\dfrac{x}{2}≦\dfrac{\pi}{2}$ なので

$\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{4}$

つまり

$x=\pi,\dfrac{\pi}{2}$

まとめ

以上をまとめて、

$x=0,\dfrac{2}{5}\pi,\dfrac{\pi}{2},\dfrac{4}{5}\pi,\pi$　…解答終わり

なんか…めちゃめちゃ詰め込まれてる感じの問題ですね…

いろんなテクがいる…

ですね。これがスムーズに解けるようになれば三角関数の方程式がかなり得意になったと言っていいですよ。

倍角の公式を利用すると？

2倍角を2回使って4倍角は作れるので、4次方程式として解いてみるのはダメなのでしょうか。

気になるならやってみるといいですよ。 $\sin x\cos x\left(4\cos^{2}x+2\cos x-1\right)=0$ と因数分解はできるのですが、

$\cos x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$ となる角が求まりません。

（これをさらに掘り下げたい人は、『$\cos\dfrac{\pi}{5}$ の値を求める』を参照してください。$5x=2\pi$ より $3x=2\pi-2x$ からスタートすれば同じ式が得られるはずです。上級者向け。)

ABOUT ME

e-yobi

北海道大学工学研究科　修士課程修了。 専門は複雑系における物理現象。 大学卒業後は商社でネットワークエンジニアとして働いていました。 4年で退職し、教員免許を取得。 公立高校・私立高校の教員を経て、現在は関西で予備校講師をしています。

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