$0≦ \theta<2\pi$とする。不等式
$$\sin\theta\cos\theta-\sin^{2}\theta<-\frac{1}{2}$$
を解け。
方針
三角関数の不等式を解こうとするとき目指すのは、次のようなものです。
１．因数分解
２．合成
３．和積公式による変形
因数分解なら、左辺を $\sin\theta$ でくくりたくなりますが…
それは全然ダメです。
右辺が0でないと、積の形にするメリットがありません。
右辺が0だから、「積のうちどちらかは0」という絞り込みができるのです。
お、それを覚えているのは素晴らしいです。
この場合は、一見すると条件を満たしていなそうですが、ちょっとの変形で合成できるようになりますよ。
例えば１番目の項は１次に変形できませんか？
あ、2倍角の公式を使えば $\sin \theta\cos \theta$ は1次にできますね。
$$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$
より
$$\sin \theta\cos \theta=\frac{1}{2}\sin2\theta$$
いいですね。後半も同じ考え方でいけますよ。2乗を1乗に変換する公式を使います。
$\cos$ の2倍角の公式を変形して作るあの公式です。
そうか、半角公式ですね！
解答
$\sin\theta\cos\theta-\sin^{2}\theta<-\frac{1}{2}$
を変形していきましょう。
2倍角の公式
$$\sin \theta\cos \theta=\frac{1}{2}\sin2\theta$$
と半角公式
$$\cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$$
を使って、不等式は
$$\frac{1}{2}\sin2\theta-\frac{1-\cos2\theta}{2} <-\frac{1}{2}$$
$$\sin2\theta+\cos2\theta <0$$
$$\sin\left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right) <0$$
と変形できる。
ここから三角関数の不等式は解けますね？
「$<0$」だから下側の範囲を求めればいいですね！
$$\frac{\pi}{4}≦ 2\theta+\frac{\pi}{4}<4\pi+\frac{\pi}{4}$$
だから、求める $\theta$ の範囲は
$$\pi<2\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi ， 3\pi<2\theta+\frac{\pi}{4}<4\pi$$
すなわち
$$\frac{3}{8}\pi<\theta<\frac{7}{8}\pi ， \frac{11}{8}\pi<\theta<\frac{15}{8}\pi$$
（解答おわり）
