積和公式を利用する問題を解いてみましょう。

問題

空欄を埋めよ。

$\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{x}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{ \cos(kx)\sin\dfrac{x}{2}\right\} =\dfrac{1}{2}\sin\left(\boxed{　　　}\right)x$

積和公式による変形

まずはシグマの中身を簡単にしましょう。

積和公式で変換すると、

$\cos(kx)\sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\left(k+\dfrac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$

となります。

積和公式はどれを使うか、どれを導くかを選ばないといけないですよね。どうやって考えたらいいんですか？
$\cos$ と $\sin$ の積ですからね。『コスモスさいた』の $\sin$ の加法定理を足し引きすることになりますね。

$\sum$ の解消（和の中抜け）

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\left(k+\dfrac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$

を順番に書き下していくと、

$\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\dfrac{3}{2}x-\sin\dfrac{1}{2}x\right\}$
$+\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\dfrac{5}{2}x-\sin\dfrac{3}{2}x\right\}$
$+\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\dfrac{7}{2}x-\sin\dfrac{5}{2}x\right\} …$

$……$
$+\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x-\sin\left(n-\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$

となります。

あ、消えていくやつですね！部分分数分解でやりましたね！
通称、『和の中抜け』です。

つまり

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2}\left\{ \sin\left(k+\dfrac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$

$=\dfrac{1}{2}\left\{ -\sin\dfrac{1}{2}x-\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$

となります。

結論

$\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{x}{2}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{ \cos(kx)\sin\dfrac{x}{2}\right\}$

$=\dfrac{1}{2}\sin\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}\left\{ -\sin\dfrac{1}{2}x-\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x\right\}$

$=\dfrac{1}{2}\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)x$

これで解けましたが、こういう解法ってどうやって思いつくものなんでしょうか…
それについて詳しくは別の機会にお話ししましょう。（『「解法を思い付く」とは』）
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e-yobi管理者　榊原
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