極大値と極小値の差
ここでは、「極大値と極小値の差」を表す重要手法について学びます。
※スマホの場合、横向きを推奨
問題
$f(x)=x^{3}-3x^{2}+3ax$ とする。
(1) $f(x)$ が極値をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
(2) $f(x)$ の極大値と極小値の差が32となるとき、$a$ の値を求めよ。
極値をもつ条件
$$\begin{align*}f'(x) & =3x^{2}-6x+3a\\& =3(x^{2}-2x+a)\end{align*}$$
$\dfrac{D}{4}=1-a>0$ が条件より、
$a<1$ …（答）
「正負が変わる場所がある」
⇔「$y=f'(x)$ のグラフが $x$ 軸と2交点を持つ」
だからです。
その通りです。
(2)は解と係数の関係を使って頑張ってもいいのですが、驚くべき解法があり、それをぜひ身に付けてほしいです。
極大値と極小値の差
求めることはできますか？
その値を、$x=\alpha,\beta$ とおいておきましょう。
ここで $\alpha<\beta$ とするなら、$f(\alpha)$ と $f(\beta)$ のうちどちらが極大値ですか？
$$f(\alpha)-f(\beta)$$
さて、ここで驚くべき変形をします。
$$f(\alpha)-f(\beta)=\int_{\beta}^{\alpha}f'(x)dx$$
↑このように変形をしました。
「なぜこの変形をするか」は一旦置いて、等式が成立することは間違いないですか？
これは…
そうか、$f'(x)$ を積分すると $f(x)$ だから…
$$\begin{align*}\int_{\beta}^{\alpha}f'(x)dx & =\bigl[f(x)\bigr]_{\beta}^{\alpha}\\& =f(\alpha)-f(\beta)\end{align*}$$
…しかしこれは一体…！？
$f'(x)=3(x^{2}-2x+a)$ と、$f'(x)=0$ の解が $\alpha,\beta$ であることから因数分解できることに注目します。
$$\begin{align*}{f(\alpha)-f(\beta)} & =\int_{\beta}^{\alpha}f'(x)dx\\& =\int_{\beta}^{\alpha}3(x^{2}-2x+a)dx\\& =\int_{\beta}^{\alpha}3(x-\alpha)(x-\beta)dx\end{align*}$$
$\int_{\beta}^{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx$ …
ああ！この形は…！
$\frac{1}{6}$ 公式の利用
積分区間の上下が大小逆転しているので…
$$3\int_{\beta}^{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-3\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$$
$$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$$
$$3\int_{\beta}^{\alpha}(x-\alpha)(x-\beta)dx=\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}$$
$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
は右辺にマイナスが付いていますが、その理由をグラフ的な意味から言えますか？
定積分 $\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx$ は当然、負の値になります。
面積はいくらかと聞かれれば $+\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$ となりますし、
定積分の値を聞かれれば $-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$ となります。
極大値と極小値の差の条件
$$f(\alpha)-f(\beta)=\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}$$
$$\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}=32$$
$$\beta-\alpha=\sqrt{(\beta+\alpha)^{2}-4\alpha\beta}$$
$\alpha,\beta$ は $x^{2}-2x+a=0$ の2解でした。よって…
$(\beta+\alpha)^{2}-4\alpha\beta=2^{2}-4a=4-4a$ より
$\beta-\alpha=\sqrt{4-4a}=2\sqrt{1-a}$
$f(\alpha)-f(\beta)=32$
$\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}=32$
$\dfrac{1}{2}(2\sqrt{1-a})^{3}=32$
$4(\sqrt{1-a})^{3}=32$
$(\sqrt{1-a})^{3}=8$
$\sqrt{1-a}=2$
$1-a=4$
$a=-3$
これは $a<1$ をみたす。 …（解答終わり）
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