手順をすべて覚えておくべき有名問題を紹介します。
※スマホの場合、横向きを推奨
問題
$x=\dfrac{\pi}{5}$ のとき、$\sin3x=\sin2x$ が成り立つことを示し、$\cos\dfrac{\pi}{5}$ の値を求めよ。
準有名角
45°、60°などは三角比の値をすぐに答えられる有名角です。
75°などはそれらを組み合わせて加法定理を使えば三角比の値が求まる「準有名角」です。
この問題で扱う $\dfrac{\pi}{5}$ （72°）もまた、ちょっとした工夫で三角比の値が求まる準有名角です。
解き方の手順も含めて「有名」なので、しっかりと覚えてください。
等式成立の証明
まずは $\sin3x=\sin2x$ が成立することを示しましょう。
慣れていない人は、ここでいきなり2倍角・3倍角の公式を使ってしまいがちですが、「中身を比べる」という方法も強力であることを忘れてはいけません。
$5x=\pi$ なので、$3x=\pi-2x$
公式 $\sin(\pi-x)=\sin x$ をつかって
$\sin3x=\sin(\pi-2x)=\sin2x$
となり、示されました。
左右対称になっていることを公式を使って書いているわけです。
あっさりと書いてしまいましたが、第一の難所ですね。
2次方程式への変換
続いて、$\sin3x=\sin2x$ を2次方程式に変換します。
3倍角の公式を使うので、3乗が出てくると思うんですが…
ちゃんと2次方程式になりますよ。
2倍角・3倍角の公式より、
$\sin3x=\sin2x$ を変形すると
$3\sin x-4\sin^{3}x=2\sin x\cos x$
もう一度問題を見てみましょう。
与えられた式は$\sin$ なのに、求めるのは$\cos$ なんですよ。
変だと思いませんか？
$\sin x≠0$より、両辺を $\sin x$ で割ると
$3-4\sin^{2}x=2\cos x$
計算を続けると、
$3-4(1-\cos^{2}x)=2\cos x$
$4\cos^{2}x-2\cos x-1=0$
$\cos\dfrac{\pi}{5}$ の値を求める
2次方程式を解いて、
$\cos x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
$x=\dfrac{\pi}{5}$ より $\cos x>0$ なので、
$\cos \dfrac{\pi}{5}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$ …解答終わり
これは偶然ではなく必然なんです。$\cos$ のみの式になることは初めから分かっていたのです。
その理由は長くなるので、別の機会にお話ししましょう。（→「チェビシェフ多項式」）
