入試基本レベル
2曲線が接する条件
2曲線 \(y=ax^{3}\) と \(y=-x^{2}+4x-5\) が接するとき，\(a\) の値を求めよ。
2式を微分して
\(y=ax^{3}\) より \(y’=3ax^2\)
\(y=-x^{2}+4x-5\) より \(y’=-2x+4\)
となるから、接点の\(x\)座標を\(t\)として
\begin{cases}at^{3}=-t^{2}+4t-5 & \cdots\cdots①\\3at^{2}=-2t+4 & \cdots\cdots②\end{cases}
が成立することが2曲線が接する条件である。
①×3より \(3at^{3}=-3t^{2}+12t-15\)
②×\(t\)より \(3at^{3}=-2t^{2}+4t\)
辺々引いて
\begin{align*}t^{2}-8t+15 & =0\\(t-3)(t-5) & =0\\t & =3,5\end{align*}
\(a=-\dfrac{2}{27},-\dfrac{2}{25}\)
