入試基本レベル
共通接線の方程式
2曲線\(y=x^{2}\)と\(y=x^{2}+x\)の共通接線の方程式を求めよ。
\(y=x^{2}\)より\(y’=2x\)だから、
\(y=x^{2}\)上の\((t,t^{2})\)における接線の方程式は
\begin{align*}y-t^{2} & =2t(x-t)\\y & =2tx-t^{2}\end{align*}
同様にして、
\(y=x^{2}+x\)より\(y’=2x+1\)だから、
\(y=x^{2}+x\)上の\((s,s^{2}+1)\)における接線の方程式は
\begin{align*}y-(s^{2}+s) & =(2s+1)(x-s)\\y & =(2s+1)x-s^{2}\end{align*}
\begin{cases}2t=2s+1 & \cdots\cdots①\\-t^{2}=-s^{2} & \cdots\cdots②\end{cases}
これを解いて\(s＝-\frac{1}{4},\,t＝\frac{1}{4}\)より、
共通接線の方程式は
\(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{16}\)
別解
\(2tx-t^{2} =x^{2}+x\)
\(x^{2}+(-2t+1)x+t^{2}=0\)
の判別式を\(D\)として、
\begin{align*}D & =(-2t+1)^{2}-4t^{2}\\& =-4t+1=0\end{align*}
が成り立つから
\(t=\frac{1}{4}\)
よって共通接線の方程式は
\(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{16}\)
