方程式と恒等式｜ 等式の役割の違いと、答案への反映のさせ方を解説
方程式と恒等式は、どのように区別されるのでしょうか。そもそも、区別されるようなものなのでしょうか？
様々な誤解を受けやすい2つの「等式」を、その使われ方から整理していきます。
等式を答案として書く
まず次のような問題をみてください。
$2(3x-2)-4x=3$
$2(3x-2)-4x$
$=6x-4-4x$
$=2x-4=3$
$2x=7$
$x=\frac{7}{2}$
えっ…。何か間違っていますか？私こういう風に書くかも…
間違っているわけではないですよ。
ちょっと無神経な感じがするだけです。
国語で例えるなら、主語が途中で変わってしまっているような違和感ですかね。
本人が気が付いていないだけで、けっこうズレたことをやっています。
方程式と恒等式
いったんこの問題からは離れて、方程式と恒等式についてお話ししましょう。
（SNSなどで少し燃えやすい内容なので表現に注意しながら書きますが…）
・方程式
等式を成立させるような変数の値を求めることを「方程式を解く」という。
このとき、対象となる等式を方程式という。
・恒等式
変数にどんな値を入れても常に成立する等式を恒等式という。
・$2x=4$
・$\sin x=1$
一方、こんなの↓は恒等式です。
・$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$
・$\sin x=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$
・$2(x+1)=2x+2$
方程式と恒等式の区別(？)
常に成立する方程式を作ることも可能です。
例えば、
$2(x+1)=2x+2$ を解け。
とすれば、$x$ の値に係わらず成立する方程式になります。
「解がすべての実数である方程式」です。
パッと見は恒等式に見えますよね。でも、これを方程式としてしまうのも自由です。
方程式か恒等式かは形によって決まるのではありません。「何がしようとしているか」の文脈によって決まります。
$2(x+1)=2x+2$ を成立させる $x$ を見つけろと言われれば、これは方程式です。
意味（?）の異なる2つのイコール
言い換えれば、これは記号「=」の使われる文脈の差であると言えます。
もちろん「=」自体は「値が等しい」という意味しか持ちませんが、
方程式は「右辺と左辺を同じにせよ」という変数に対する条件を言う文脈で使われ、
恒等式は「右辺と左辺は同じである」という命題を言う文脈で使われているのです。
本来はその文脈も含めて論理記号で書くのが正確なのですが、高校数学では文脈から判断するやり方になっています。
形は同じ「等式」ですから、どちらの意味を持つかは文の中での使われ方次第ということになります。
冒頭の方程式、再考
さっきの方程式をもう一度見てみましょう。
$2(3x-2)-4x$
$=6x-4-4x$
$=2x-4=3$
$2x=7$
$x=\dfrac{7}{2}$
こんな感じでしたね。いくつも「=」が使われていますが、文脈上の役割が2種類あることに気が付きますか？
「同じにせよ」と「同じである」の2種類で使われています。色分けしてみましょう。
$2(3x-2)-4x$
=$6x-4-4x$
=$2x-4$=$3$
$2x$=$7$
$x$=$\dfrac{7}{2}$
「=」に注意した書き方
例1 すべて方程式にする
$\begin{align*}2(3x-2)-4x= & 3\\6x-4-4x= & 3\\2x-4= & 3\\2x= & 7\\x= & \dfrac{7}{2}\end{align*}$
「＝」の役割を統一させました。「＝」の位置を縦にそろえると見やすいですね。
例2 はじめは恒等式、あとから方程式
$2(3x-2)-4x$
$=6x-4-4x$
$=2x-4$
よって
$\begin{align*}2x-4= & 3\\2x= & 7\\x= & \dfrac{7}{2}\end{align*}$
この場合も、方程式の「＝」の位置は縦にそろえると見やすいでしょう。
恒等式の方の「＝」は無理にそろえる必要はありませんが、適切に改行するのが普通です。
慣習的な用法
何が何でもこの使い分けをしないといけないわけでもありません。
次の2つの問題と解答を見てみましょう。
例1
解答
$x^{2}-mx-m=0$ の判別式を $D$ とすると、重解を持つ条件は $D=0$ である。
$D=m^{2}-4(-m)$
$=m^{2}+4m$
$=m(m+4)=0$
であるから $m=-4,0$
例2
解答
$y’=3x^{2}-3$
$=3(x+1)(x-1)=0$
となるのは、$x=\pm1$ のとき。
（以下略）
例1 正しい（几帳面な）書き方
$D=m^{2}-4(-m)$
$=m^{2}+4m$
$=m(m+4)$
よって
$m(m+4)=0$
例2 正しい（几帳面な）書き方
$y’=3x^{2}-3$
$=3(x+1)(x-1)$
よって $y’=0$ となるのは、$x=\pm1$ のとき。
(以下略)
神経質な人は気にするでしょうけど、几帳面でないほうも市民権を得ていると思います。実際、私もよく書きますし。
ただ、等式が条件なのか命題なのかは意識して書いてください。
高度な論理を扱うための練習だと思いましょう。
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記事の執筆者は、数学・物理を中心にオンライン個別指導を行っています。
個別指導でも、記事のような考え方でやり取りを重視しながら進めています。
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